Derivadas Parciales y Direccionales

Dada una funcion de varias variables, esta puede ser derivadas
con respecto (x,y,z) lo cual permite inferir que la direccion
de la derivada va a estar determinada por la variable que
tomamos para derivar, es decir, la derivada estara en la
direccion de la variable objeto de la derivacion. Si tomamos x
la direccion sera en i, si tomamos y la direccion sera en j y
si tomamos Z la direccion sera en k.
Ruth Jimenez.

la direccion que debe tener una funcion de varias variables para dereivarse es es que la taza de variacion de la funcion a lo largo de la recta paralelas a los ejes ordenados esto es, si f es una funcion de la variable xy la derivada parcial fx(x,y) describe la tasa de variacion de f en la direccion de eje x y fy(x,y) describe la variacion de f en la direccion del eje y esto se da si este limite existe.

una derivada direccional se realiza con un vecto direccion
ademas podemos expresar la derivada direccional de una funcion
segun una direccion dada por un vector unitario

Qué características debe tener una función vectorial para que sea derivable?
La función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k es derivable en un punto t=to, si la funciones

escalares f(t) , g(t), h(t) son derivables en t=to. Por lo tanto la derivada en cualquier punto t de la función vectorial

es r'(t) = f '(t)i + g '(t)j en el plano

es r'(t) = f '(t)i + g '(t)j + h '(t)k en el espacio

2-)la direccion de la funcion a derivar tenemos que tener en cuenta el
rango o dominio de la funcion en cada uno de sus conponentes en el plano y
en el espacio.y el orden de sus puntos nos darara una direccion a seguir

la derivada direccionales se rep`resenatn gaficamente utilizando el concepto de vector unitario u que forma un angulo de medida "teta" radianes con la parte positiva del eje x , de modo que u=cos"teta"i+sen"teta"j. el punto inicial es es p (x,y) en el plano de x y si f es una funcion de x y y. entonces la tasas de variacion de los valores de la funcion f(xy) con respecto a la direccion del vector unitario u esta determinada por la derivada dirrecional.

Por favor hagan también comentarios de las 3 últimas preguntas que añadí al cuestionario inicial.
Es importante que queden claras las fórmulas y la representación gráfica de este tipo de derivadas.
Lucia Bolívar

Las derivadas direccionales proporcionan las intensidades de variacion de dichos valores en cualquier direccion.
En una funcion de varias variables la derivada direccional da la de los valores funcionales f(x,y)con respecto a la direccion del vector unitario U.

hablando un poco de derivada direccional yo lei y entendi lo siguiente Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio (z) de en el punto (x0,y0) en la dirección de un vector u=(a,b) unitario arbitrario . Para esto consideramos la superficie (s) con ecuación z=F(x,y) (la gráfica def) y sea z0= F(x0,y0) . Entonces el punto p=(x0,y0,z0) está sobre . El plano vertical que pasa por el punto en la dirección del vector interseca a la superficie en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el puntoes la tasa de cambio de en la dirección de .

complementando la opinion de Cardenas, la derivada direccional
puede representarse graficamente a traves del vector unitario
u=costi+sentj, cortando la garfica de la funcion con el plano
vertical en un punto dado siendo este paralelo al vector u.
Ruth Jimenez.

la derivada parcial por lo que pude leer es un caso particular de derivada direccional.
y las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función.

este es otro pequeño comentario sobre las derivadas direccionales la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

Las caracteristicas relevantes para que una funcion se derive de cada una de sus componentes es que esta debe existir, cada una de sus componentes son derivables, ya que si alguna de sus funciones en el espacio es indefinida, no se puede derivar.

en cuanto a las derivadas parciales, la principal incognita seria de que forma cambiaria el valor de una funcion el cambio de cada una de sus variables, entonces cada una de las variables se deben tomar independiente una de la otra o de las demas, es decir, si se tiene una funcion "f(x,y)=4x+5y-2" como funcion original, si se sonsidera y como constante y se deriva con respecto a x se obtendra dicha derivada solo en terminos de x es decir "fx(x,y)=4"; ya que las variables de "y" son constantes derivando con respecto a "x"

una funcion de varias variables pueden graficarse de la siguiente forma dada cualquiewr funcion escogemos un sistema de coordenadas en el plano y en el espacio y representamos su dominio para cada coordenada.

3-)es derivando su funciom en cada uno de sus componentes para (x y)(i j)
y(x y z)(i j k)
4-)es que tenga dos"2" o mas variables

la direccion en una derivada direccional se determina hallando cada una de las derivadas parciales de cada direcccion
y multiplicandola por un vector unitario el cual se halla de la siguiente forma
u= v/la magnitud del mismo vector finalmente podemos evaluarlas en cualquier punto dado

profe yo encontre algo sobre la demostracion de fiunciones escalares reales de derivadas direcciuonales pero pasar no me deja copiar la imagen para que vean

Una de las características de una función vectorial para ser derivable es que sea continua, en el caso de las funciones de varias variables se pueden derivar en las direcciones i, j, k, y la derivada direccional es un escalar y está dada por el producto escalar del vector gradiente con el vector unitario. Es indispensable en una derivada parcial que sea de más de una variable y que al momento de derivar se debe suponer las otras variables constantes.

por otro lado las derivadas direccionales es dada una funcion acompañada de un verctor cualquiera, para realizarla es necesario hallar un vector unitario el cual se hhala dividiendo el vector dado entre la magnitud del mismo, ya teniendo el valor de este vector unitario lo multiplicamos por la funcion dada, su resultado puede ser evaluado en varios puntos dependiendo de las variables que contenga

En teoria una funcion de varias variables se puede derivar en cualquier
direccion siempre y cuando el vector gradiente este definido en
el punto a derivar, segun la definicion se tiene que la funcion
F es igual al vector gradiente de f multiplicado por el vector
unitario.
El vector gradiente por ejemplo para las variables x, y, z se define entonces como la derivada parcial de f con respecto a x en i, mas la derivada parcial de f con respecto a y en j, mas la derivada parcial de f con respecto a z en k; como ya se dijo una vez definido este
vector en el punto a derivar se podrá derivar en cualquier direccion

Si se tiene una funcion de varias variables, esta se puede derivar
con respecto a (x,y,z) lo cual permite inferir que la direccion
de la derivada va a estar determinada por la variable que
tomamos para derivar, es decir, la derivada estara en la
direccion de la variable objeto de la derivacion. Si tomamos x
la direccion sera en i, si tomamos y la direccion sera en j y
si tomamos Z la direccion sera en k.

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:

v----- vector DvF

Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

DvF= (DF)v

cual es la formula para hallar las derivadas parciales?
si Z= f(x,y) las primeras derivadas parciales de f respecto de X
e Y, son las funciones fx y fy definidas como:

fx(x, y) = Lim [f(x + ∆x,y) - f(x, y)]/∆x
∆x → 0

fy(x, y) = Lim [f(x,y + ∆y) - f(x, y)]/∆y
∆y → 0

Siempre que el limite exista.

Ruth Jimenez

y si el limmite no existe como se hace hay que buscar el limite y siempre nos van a dar el limite